Magisches Quadrat

Ein magisches Quadrat ist ein quadratisches Feld, in dem die Zahlen einer jeden Zeile, Spalte und Diagonale immer die gleiche Summe ergeben. Dabei darf jede Zahl nur einmal vorkommen und die Zahlen müssen, wenn sie der Größe nach aufgeschrieben werden, eine durchgehende Kolonne bilden, es dürfen also keine Zahlen fehlen.

Mathematisch betrachtet ist diese n-dimensionale Anordnung von Elementen eine Matrix.

Eine (n,n)-Matrix A heißt "magisches Quadrat",
wenn jede der Zahlen 1,2,3,...,n^2 genau einmal auftritt und
es eine Zahl  $S n$  gibt mit den Eigenschaften:

* Die Summe der Zahlen in jeder Spalte ist  $S n$ 
* Die Summe der Zahlen in jeder Zeile ist  $S n$ 
* Die Summe der Zahlen in jeder der beiden Diagonalen ist  $S n$

Durch Vertauschen von jeweils zwei Spalten und den dazugehörigen, mit den Diagonalen kreuzenden Zeilen aus einem magischen Quadrat, kann eine Vielzahl von weiteren magischen Quadraten gebildet werden.

Pandiagonales magisches Quadrat

Sind die Summen der Zellen in den gebrochenen Diagonalen ebenfalls $S n$ , wird die Matrix als pandiagonales magisches Quadrat oder Teufelsquadrat bezeicnet. Ordnet man viele pandiagonale magische Quadrate der Ordnung n zu einer Tapete an, so ist jedes beliebig entnommene nxn-Quadrat magisch.

Magische Summe

Diagramm "Magische Summe in magischen Quadraten"

Für ein n×n-magisches Quadrat (n>2) ist die Summe einer Zeile, Spalte oder Diagonale immer gleich der mittleren Summe aus einem vorhandenen Zahlenvorrat a:

Quadrat	Magische Summe
3 × 3	$S_{3} = \frac{3^3 + 3}{2} = 15$
4 × 4	$S_{4} = \frac{4^3 + 4}{2} = 34$
5 × 5	$S_{5} = \frac{5^3 + 5}{2} = 65$

Pandiagonale magische Quadrate

Tapete mit pandiagonalem magischen Quadrat

4x4	5x5	5x5	6x6
7x7	8x8	8x8	8x8
9x9	12x12

Magische Quadrate in Spielen

Domino	Domino	Schach	Schach
Schach

Magische Primzahlenquadrate

Magisches Primzahlenquadrat 3x3, (1 ist nicht prim), magische Summe = 111, Dudeney	Magisches Primzahlenquadrat 3x3, magische Summe = 177, M. Gardner	Magisches Primzahlenquadrat 3x3, magische Summe = 4.440.084.513, aufeinanderfolgende Primzahlen, Nelson	Magisches Primzahlenquadrat 4x4, (1 ist nicht prim), magische Summe = 102, Bergholt/Shuldham
Magisches Primzahlenquadrat 4x4, magische Summe = 120, Bergholt/Shuldham

Magisches Quadrat 3x3

Das chinesische Glücksamulett "Lo-Shu"

Lo-Shu

Der chinesischen Überlieferung nach tauchte dereinst im 3. Jahrtausend v. Chr. eine Schildkröte aus dem legendären Fluß Lo auf, die auf ihrem Rücken neun in einem Quadrat angeordnete Zahlen trug.

Quadratsummen

$2762 + 951 2 + 438 2 = 672 2 + 159 2 + 438 2 = 1172421$

$2942 + 753 2 + 618 2 = 492 2 + 357 2 + 816 2 = 1035369$

$2582 + 714 2 + 693 2 = 852 2 + 417 2 + 396 2 = 1056609$

$6542 + 798 2 + 213 2 = 456 2 + 897 2 + 312 2 = 1109889$

Bildungsgesetz für magische Quadrate ungerader Ordnung

n > 2

Nordostweiser

Beginne oben in der Mitte mit 1 und gehe ein Feld nach rechts oben.	Bist Du außerhalb der Markierung, gehe ganz nach unten. Dann wieder ein Feld nach rechts oben.	Bist Du außerhalb der Markierung, gehe ganz nach links.	Bist Du durch die Ordnungszahl teilbar, gehe ein Feld nach unten. Dann bis zum Ende der Markierung auffüllen.
Weil Du durch die Ordnungszahl teilbar bist, gehe ein Feld nach unten. Dann wieder ein Feld nach rechts oben.	Bist Du außerhalb der Markierung, gehe ganz nach links. Dann wieder ein Feld nach rechts oben.	Bist Du außerhalb der Markierung, gehe ganz nach unten.	Bildungsgesetz für magische Quadrate 3x3, a=5, b=3, c=1

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Es gibt 8 magische Quadrate der Ordnung 3

Magisches Quadrat 3x3, magische Summe = 15	Magisches Quadrat 3x3, magische Summe = 15, Lo-Shu, Glücksamulett	Magisches Quadrat 3x3, magische Summe = 15	Magisches Quadrat 3x3, magische Summe = 15
Magisches Quadrat 3x3, magische Summe = 15, Saturnamulett	Magisches Quadrat 3x3, magische Summe = 15	Magisches Quadrat 3x3, magische Summe = 15	Magisches Quadrat 3x3, magische Summe = 15

Magisches Quadrat 4x4

Bildungsgesetz für magische Quadrate doppelt gerader Ordnung

n ist durch 4 teilbar

Trage die Zahlen von 1 bis n² zeilenweise in ihrer natürlichen Reihenfolge in die Matrix ein
Vertausche Elemente, die diagonal-symmetrisch zur Mitte des Quadrates sind

Jupiteramulett: A=11, B=7, C=6, D=10, a=7, b=9, c=1, d=8

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Es gibt 880 magische Quadrate der Ordnng 4.

Pandiagonales magisches Quadrat 4x4, magische Summe = 34,	Magisches Quadrat 4x4, magische Summe = 34, Jupitermulett	Magisches Quadrat 4x4, magische Summe = 34, Dürer-Quadrat.	Magisches Quadrat 4x4, magische Summe = 34, Dürer-Quadrat, die Fünf steht verkehrt, Ausschnitt aus Melencolia I, 1514 n. Chr.
Magisches Quadrat 4x4, magische Summe = 10, Domino

Magisches Quadrat 5x5

Bildungsgesetz für magische Quadrate ungerader Ordnung

n>2, nicht pandiagonal

Indische Methode, Südostweiser

Indische Methode, Nordwestweiser

Methode von de LaLoubère, Nordostweiser

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Es gibt 275.305.224 magische Quadrate der Ordnung 5.

Pandiagonales magisches Quadrat 5x5, magische Summe = 65, Teufelsquadrat	Pandiagonales magisches Quadrat 5x5, magische Summe = 65, Teufelsquadrat	Magisches Quadrat 5x5, magische Summe = 65, Marsamulett, Lozenge Quadrat	Magisches Quadrat 5x5, magische Summe = 65, Nordostweiser
Magisches Quadrat 5x5, magische Summe = 65, Nordwestweiser

Magisches Quadrat 6x6

Bildungsgesetz für magische Quadrate einfach gerader Ordnung

n ist durch 2, aber nicht durch 4 teilbar

Teile das Quadrat in 4 Segmente.

Jedes Segment wird mit dem Bildungsgesetz für magische Quadrate ungerader Ordnung befüllt.

Es wird in der angegebenen Reihenfolge mit dem Quadrat der Ordnungszahl multipliziert.

sodaß folgendes Quadrat entsteht:

Vertauschen:

Fertig!

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Es gibt (1.775399 ± 0.000042) x 10^19 magische Quadrate der Ordnung 6

Magisches Quadrat 6x6, magische Summe = 111	Magisches Quadrat 6x6, magische Summe = 111	Magisches Quadrat 6x6, magische Summe = 111, Sonnenamulett	Magisches Quadrat 6x6, magische Summe = 111, Teufelsamulett
Pandiagonales magisches Quadrat 6x6, magische Summe = 246

Magisches Quadrat 7x7

Es gibt (3.79809 ± 0.00050) x 10^34 magische Quadrate der Ordnung 7

Magisches Quadrat 7x7, magische Summe = 175, Nordostweiser	Magisches Quadrat 7x7, magische Summe = 175, Südostweiser, Venusamulett	Magisches Quadrat 7x7, magische Summe = 175	Magisches Quadrat 7x7, magische Summe = 175
Magisches Quadrat 7x7, magische Summe = 175	Magisches Quadrat 7x7, magische Summe = 175	Pandiagonales magisches Quadrat 7x7, magische Summe = 175	Magisches Quadrat 7x7 aus einem kompletten Satz Domino-Steinen von Doppel-0 bis Doppel-6, magische Summe = 24

Magisches Quadrat 8x8

Bildungsgesetz für magische Quadrate doppelt gerader Ordnung

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Es gibt (5.2225 ± 0.0018) x 10^54 magische Quadrate der Ordnung 8

Magisches Quadrat 8x8, magische Summe = 260, Merkuramulett. Es sind die Jahreszahlen 1945, 1918 und 1848 nebeneinander zu sehen.	Magisches Quadrat 8x8, magische Summe = 260	Pandiagonales magisches Quadrat 8x8, magische Summe = 260	Pandiagonales magisches Quadrat 8x8, magische Summe = 260
Pandiagonales magisches Quadrat 8x8, magische Summe = 260, Six-in-One	Magisches Quadrat 8x8, magische Summe = 260	Magisches Quadrat 8x8, magische Summe = 260, Rösselsprung	Halbmagisches Quadrat 8x8 (ohne Diagonalen), magische Summe = 260, Rösselsprung, geschlossene Springerwanderung

Magisches Quadrat 9x9

Es gibt (7.8448 ± 0.0038) x 10^79 magische Quadrate der Ordnung 9

Magisches Quadrat 9x9, magische Summe = 369, Nordostweiser, enthält die Sequenz 1, 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81 (Finale 1)	Magisches Quadrat 9x9, magische Summe = 369, Südostweiser, Mondamulett	Magisches Quadrat 9x9, magische Summe = 369	Magisches Quadrat 9x9, magische Summe = 369, Lozenge Quadrat, enthält die Sequenz 1, 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81 (Finale 1)
Magisches Quadrat 9x9, magische Summe = 369, enthält pandiagonales magisches Quadrat der Ordnung 9	Pandiagonales magisches Quadrat 9x9, magische Summe = 369, enthält Finale 1