Magisches Quadrat

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Definition

Magisches Quadrat

Ein magisches Quadrat ist ein quadratisches Feld, in dem die Zahlen einer jeden Zeile, Spalte und Diagonale immer die gleiche Summe ergeben. Dabei darf jede Zahl nur einmal vorkommen und die Zahlen müssen, wenn sie der Größe nach aufgeschrieben werden, eine durchgehende Kolonne bilden, es dürfen also keine Zahlen fehlen.

Mathematisch betrachtet ist diese n-dimensionale Anordnung von Elementen eine Matrix.

Eine (n,n)-Matrix A heißt "magisches Quadrat",
wenn jede der Zahlen 1,2,3,...,n^2 genau einmal auftritt und
es eine Zahl Sn gibt mit den Eigenschaften:

* Die Summe der Zahlen in jeder Spalte ist Sn
* Die Summe der Zahlen in jeder Zeile ist Sn
* Die Summe der Zahlen in jeder der beiden Diagonalen ist Sn

Durch Vertauschen von jeweils zwei Spalten und den dazugehörigen, mit den Diagonalen kreuzenden Zeilen aus einem magischen Quadrat, kann eine Vielzahl von weiteren magischen Quadraten gebildet werden.

Pandiagonales magisches Quadrat

Sind die Summen der Zellen in den gebrochenen Diagonalen ebenfalls Sn, wird die Matrix als pandiagonales magisches Quadrat oder Teufelsquadrat bezeicnet. Ordnet man viele pandiagonale magische Quadrate der Ordnung n zu einer Tapete an, so ist jedes beliebig entnommene nxn-Quadrat magisch.

Definition magisches Quadrat.png

Magische Summe

Diagramm "Magische Summe in magischen Quadraten"

Für ein n×n-magisches Quadrat (n>2) ist die Summe einer Zeile, Spalte oder Diagonale immer gleich der mittleren Summe aus einem vorhandenen Zahlenvorrat a:


S_n = \frac{1}{n} \cdot \sum_{x=1}^{n^2} x = \frac{n(a+1)}{2} = \frac{n(n^2+1)}{2} = \frac{n^3+n}{2}
Quadrat Magische Summe
3 × 3 S_{3} = \frac{3^3 + 3}{2} = 15
4 × 4 S_{4} = \frac{4^3 + 4}{2} = 34
5 × 5 S_{5} = \frac{5^3 + 5}{2} = 65

Pandiagonale magische Quadrate

Tapete mit pandiagonalem magischen Quadrat

Magische Quadrate in Spielen

Magische Primzahlenquadrate

Magisches Quadrat 3x3

Das chinesische Glücksamulett "Lo-Shu"

Lo-Shu
Chin mag sq22.jpg

Lo Shu.gif

Der chinesischen Überlieferung nach tauchte dereinst im 3. Jahrtausend v. Chr. eine Schildkröte aus dem legendären Fluß Lo auf, die auf ihrem Rücken neun in einem Quadrat angeordnete Zahlen trug.

Quadratsummen

Magisches Quadrat 3x3.gif

2762 + 9512 + 4382 = 6722 + 1592 + 4382 = 1172421

2942 + 7532 + 6182 = 4922 + 3572 + 8162 = 1035369

2582 + 7142 + 6932 = 8522 + 4172 + 3962 = 1056609

6542 + 7982 + 2132 = 4562 + 8972 + 3122 = 1109889

Bildungsgesetz für magische Quadrate ungerader Ordnung

n > 2

Nordostweiser

Galerie

Es gibt 8 magische Quadrate der Ordnung 3

Magisches Quadrat 4x4

Bildungsgesetz für magische Quadrate doppelt gerader Ordnung

n ist durch 4 teilbar

  1. Trage die Zahlen von 1 bis n² zeilenweise in ihrer natürlichen Reihenfolge in die Matrix ein
  2. Vertausche Elemente, die diagonal-symmetrisch zur Mitte des Quadrates sind

Magisches Quadrat 4x4 Bildungsgesetz.png


Bildungsgesetz magisches Quadrat 4x4.gif

Jupiteramulett: A=11, B=7, C=6, D=10, a=7, b=9, c=1, d=8

Galerie

Es gibt 880 magische Quadrate der Ordnng 4.

Magisches Quadrat 5x5

Bildungsgesetz für magische Quadrate ungerader Ordnung

n>2, nicht pandiagonal

Indische Methode, Südostweiser

Magisches Quadrat 5x5 Bildungsgesetz Indische Methode.gif

Indische Methode, Nordwestweiser

Magisches Quadrat 5x5 Bildungsgesetz NW.gif

Methode von de LaLoubère, Nordostweiser

Magisches Quadrat 5x5 Bildungsgesetz NO.gif

Galerie

Es gibt 275.305.224 magische Quadrate der Ordnung 5.

Magisches Quadrat 6x6

Bildungsgesetz für magische Quadrate einfach gerader Ordnung

n ist durch 2, aber nicht durch 4 teilbar

Teile das Quadrat in 4 Segmente.

Magisches Quadrat 6x6 Bildungsgesetz A.png

Jedes Segment wird mit dem Bildungsgesetz für magische Quadrate ungerader Ordnung befüllt.

Magisches Quadrat 6x6 Bildungsgesetz B.gif

Es wird in der angegebenen Reihenfolge mit dem Quadrat der Ordnungszahl multipliziert.

Magisches Quadrat 6x6 Bildungsgesetz C.gif

sodaß folgendes Quadrat entsteht:

Magisches Quadrat 6x6 Bildungsgesetz D.png

Vertauschen:

Magisches Quadrat 6x6 Bildungsgesetz E.gif

Fertig!

Magisches Quadrat 6x6 Bildungsgesetz F.gif

Galerie

Es gibt (1.775399 ± 0.000042) x 10^19 magische Quadrate der Ordnung 6

Magisches Quadrat 7x7

Es gibt (3.79809 ± 0.00050) x 10^34 magische Quadrate der Ordnung 7

Magisches Quadrat 8x8

Bildungsgesetz für magische Quadrate doppelt gerader Ordnung

Magisches Quadrat 8x8 Bildungsgesetz.png

Galerie

Es gibt (5.2225 ± 0.0018) x 10^54 magische Quadrate der Ordnung 8

Magisches Quadrat 9x9

Es gibt (7.8448 ± 0.0038) x 10^79 magische Quadrate der Ordnung 9

Magisches Quadrat 10x10

Bildungsgesetz für magische Quadrate einfach gerader Ordnung

n ist durch 2, aber nicht durch 4 teilbar

Magisches Quadrat 10x10 Bildungsgesetz.gif

Alternativmöglichkeiten für die Vertauschung:

Magisches Quadrat 10x10 Bildungsgesetz1.gif

Galerie

Es gibt (2.4149 ± 0.0012) x 10^110 magische Quadrate der Ordnung 10. Das ist mehr als die Gesamtanzahl aller Teilchen im Universum.

Magisches Quadrat 11x11

Es gibt (2.3358 ± 0.0014) x 10^146 magische Quadrate der Ordnung 11

Magisches Quadrat 12x12

Es gibt (1.1424 ± 0.0010) x 10^188 magische Quadrate der Ordnung 12

Magisches Quadrat 13x13

Es gibt (4.0333 ± 0.0054) x 10^235 magische Quadrate der Ordnung 13

Magisches Quadrat 14x14

Es gibt (1.5057 ± 0.0024) x 10^289 magische Quadrate der Ordnung 14

Magisches Quadrat 15x15

Es gibt (8.052 ± 0.022) x 10^348 magische Quadrate der Ordnung 15

Magisches Quadrat 16x16

Es gibt (8.509 ± 0.027) x 10^414 magische Quadrate der Ordnung 16

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Siehe auch

Weblinks